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Text File  |  2022-08-26  |  2KB  |  106 lines
  1.  
  2.           TAYLOR EXPANSION
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  Taylor's theorem states that a poly-
  7.  
  8. nomial of degree N can be expressed as
  9.  
  10. a polynomial of degree N in powers of
  11.  
  12. (X-A) where A is any constant.
  13.  
  14.  
  15. Theorem: For any polynomial F of
  16.  
  17. degree N and any constant A,
  18.  
  19.                                 2
  20. 1) F(X) = A  + A (X-A) + A (X-A) +..
  21.            0    1         2
  22.  
  23.  
  24.                      N
  25.          ... +A (X-A)
  26.                N
  27.  
  28.  
  29.               1   (I)
  30.    where  A =---- F   (A).
  31.            I  I!
  32.  
  33.  
  34.  
  35.  (That is, A  is the Ith derivative of
  36.             I
  37.  
  38. F at A divided by I factorial).
  39.  
  40.  
  41.                   4  3   2
  42. Problem: Expand 3X +X -5X +X-10 in
  43.  
  44. powers of X-1.
  45.  
  46.  
  47.  
  48. Solution:  Use the LOADSTAR Polynomial
  49.  
  50. Division program to compute the
  51.  
  52. following sequence of divisions, each
  53.  
  54. time dividing the quotient obtained by
  55.  
  56. X-1 for the next step.
  57.  
  58.  
  59.   4  3   2                 3   2
  60. 3X +X -5X +X-10 / X-1; Q=3X +4X -X
  61.                        R=-10
  62.  
  63.  
  64.   3   2                    2
  65. 3X +4X -X / X-1      ; Q=3X +7X+6
  66.                        R=6
  67.  
  68.   2
  69. 3X +7X+6 / X-1       ; Q=3X +10
  70.                        R=16
  71.  
  72.  
  73.  
  74. 3X+10 / X-1          ; Q=3
  75.                        R=13
  76.  
  77.  
  78. 3 / X-1              ; Q=0
  79.                        R=3
  80.  
  81.  
  82. where Q is the quotient and R is the
  83.  
  84. remainder for each division.
  85.  
  86.  
  87.  
  88. Now construct the desired polynomial
  89.  
  90. by using the remainders in reverse
  91.  
  92. sequence as the coefficients.
  93.  
  94.       4        3        2
  95. 3(X-1) +13(X-1) +16(X-1) +6(x-1)-10
  96.  
  97.  
  98. Note that we computed this form of the
  99.  
  100. original polynomial without ever
  101.  
  102. calculating a derivative!
  103.  
  104.  
  105. --------------------------------------
  106.